行列 み も と。 行列の積の計算方法と例題

行列計算機

行列 み も と

1 行列 旧課程では2x2の行列を高校で習ったのだが、最近は高校で行列を扱わなくなってしまった。 行列とは数字を縦横に並べて括弧でくくったものである。 2x2行列などというときは、縦x横の大きさを表している。 行数、行番号は縦に数える。 「2六歩」は右から2行目、上から六段目に歩を進めることを表します。 数字は常に、行、列、の順で書く• 実数の時は「実行列」• 複素数の時は「複素行列」 行列の成分となる「数」を「スカラー」と呼ぶ。 (と、ここでは理解しておく。 正しくは座標変換を学んでから) スカラーは、考えている問題によって実数だったり、複素数だったりするが、 この教科書ではほぼ常に実数。 変数として使う文字 行列を表す変数は大文字を使う。 ベクトルは 太文字で。 例えばこのあたりを参照: 縦線を引く場所は必ずしも1通りに決まっているわけではないので、 「ベクトルを表したいんだな」という気持ちが伝われば、どこに引いても大丈夫。 単位行列 正方行列で、対角成分だけが 1 で、他がゼロなもの。 行列のかけ算(積)を計算する際、数字の1と同様、他の行列に掛けても値を変えない行列になる。 E を使う流儀もある。 こちらはドイツ語の Einheitsmatrix からとのこと。 unit matrix と呼ぶこともあるが U は使わない。 U は後に学ぶユニタリー行列 unitary matrix:「行列式の絶対値」が1である行列 を表すのに使う。 進んだ教科書では数字の 1 を書いて単位行列を表すこともある。 ゼロ成分はしばしば省略される。 個人的にはデルタ、シグマ、ローともしっぽが最後になるように書いています。 ラムダは左、右の順で書いています。 高校で行列に関する演算をいろいろ習ったが 最近は習わないね・・・ 、ここでは一旦全て「知らない振り」をして、 「定義された内容」および「そこから証明された定理」だけを使って何が言えるかを考える。 こういうのが大学以降で学ぶ数学の基本的なスタンスだ。 例えば行列の「和」は定義したが「差」はまだ定義していない。 2 行列 左の行列の i 行目と、右の行列の j 列目との成分同士をかけてから、すべて足したものが結果の行列の i,j 成分になる。 n 行列の積は.

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主小行列式の定義 [数学についてのwebノート]

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まず、このような記法をするため、次に説明する 行列(ぎょうれつ、英:matrix)という量を新たに定義する。 何故このように定めるのか、考えよう。 実際、下2式のp,qに、上2式を代入して整頓すればよい。 読者は代入して確認せよ。 一般に、積の合成後のx行y列めは、合成前のx行めのそれぞれの成分と、合成前のy列目のそれぞれの成分とを、掛けて足した結果になっている。 行列どうしの積は、順序によって結果が異なる。 上述の例は、2元連立一次方程式が式2個の場合に相当する行列だったが、一般に連立方程式の元の数は2個とは限らないし、方程式の数も2個とは限らないので、他の場合にも行列が定義できるように、行列の定義を拡張する。 つぎのように、数値を縦横に並べて、それぞれの段の文字の個数が等しいものを 行列(ぎょうれつ、英:matrix) と呼ぶ。 行列の定義の説明図 行列の一部の、横に並んだ数値のかたまりを 行(ぎょう、英:row) といい、縦に並んだ数値のかたまりを 列(れつ、英:column) といい、それぞれの数値を 成分(せいぶん、英:element) と呼ぶ。 第 i 行第 j 列の成分を i, j 成分という。 「行列が等しい」とは 「2つの行列が等しい」とは、行数と列数が等しく、かつ対応する i, j 成分がすべて等しいことと定める。 ベクトル内積と行列 [ ] ただ1行からなる行列を 行ベクトル(ぎょうベクトル、英:row vector)といい、ただ1列からなる 列ベクトル(れつベクトル、英:column vector )という。 この行列の定義は、ベクトルの定義を拡張したものになっている。 このように、行列では、1行1列の行列も認める。 行列の積の i, j 成分の値は、左側の行列の i 行のベクトルと、右側の行列の第 j 列のベクトルの内積である。 このように考えると、「行列」とは「ベクトルを並べたもの」とも言える。 (ただし並べるベクトルの次元は同じ次元でなければならない。 問 次の w, x, y, zの値を求めよ。 行列の 和の定義は、各要素ごとに足し合わせる、と定義される。 零行列 すべての成分が0である行列を ゼロ行列(ぜろぎょうれつ、英:zero matrix) という。 行列の積 [ ] 例題• 対角成分だけが1であり、その他の成分がすべて0に等しい行列である。 そのような行列はもし存在すれば各Aに対してただひとつに定まる。 もちろん一般にはAに対して右側からかけるか左側からかけるかによって積は異なるのだが、この場合はAに対して右からかけて単位行列になるのならば左からかけても単位行列になるし、逆もまたしかりであることに注意しておく。 逆行列の逆行列はもとの行列に等しい。 実際に行列の積を取ることで、これが正しいことが容易にわかる。 一般に、連立1次方程式がただ一組の解をもつとき、連立1次方程式を解くことは逆行列を求めることと同じである。 ここで Aをこの連立1次方程式の係数行列という。 一般の行列による点の移動 [ ] 座標値(x,y)の点Pを行列をかけることで移動したものを考える。 )、この座標に座標値(x,y)を代入することで点Pを移動したものを、前の座標系で測った場合の座標値になっている。 新たな別座標(直線座標)は、計算の都合上、原点だけは元の座標と同じとする。 すると、次のように、前の座標と新たな座標との関係を、行列で表記できる。 この式を、座標の変換の幾何学として考えた場合、次のような理論になる。 ここで、もし新たな座標系を基準にして、新たな座標軸の単位ベクトルの数値を見ても、結果の単位ベクトルの数値は (0,1) および 1,0 になるだけであり、何も計算した事にならない。 なぜなら自己の座標系で自己の単位ベクトルを見ても、(0,1) および 1,0 でしかないから、である。 計算すべきは、新たな座標軸を基準にして前の座標軸を見た場合の数値、もしくは、前の座標軸を基準にして新たな座標軸を見た場合の数値である。 さて、この問題では点Pの位置(x、y)は何も変換しておらず、よって、前の座標を基準にして点Pの位置を見ても、何も変化しない。 この問題で変更したのは座標軸のほうであるから、新たな座標系で見た点Pの値(z,w)に興味があるのである。 線の移動 [ ] 平面図形上の線分は、2行2列の行列で変換できる。 線形写像 [ ] 不動直線 [ ].

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線形代数I/行列

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「 行列」のその他の用法については「」をご覧ください。 の周辺分野における 行列(ぎょうれつ、: matrix)は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。 横に並んだ一筋を 行、縦に並んだ一筋を 列と呼ぶ。 書き並べられた要素は行列の成分と呼ばれ、行列の第 i 行目、 j 列目の成分を特に行列の i, j 成分と言う。 行列の i, j 成分はふつう a ij のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にを入れることもある。 また略式的に、行列 A の i, j 成分を指定するのに A ij という記法を用いることもある。 行列の和は、行の数と列の数が同じ行列において、成分ごとの計算によって与えられる。 の計算はもっと複雑で、2つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。 例えば、三次元空間におけるのは一次変換にあたり、 R がで v が空間の点のを表す(1 列しかない行列)であるとき、それらの積 R v は回転後の点の位置を表す列ベクトルを表現している。 また 2つの行列の積は、2つの一次変換のを表現するものとなる。 また、その他の応用としては、の解法が挙げられる。 行列がであるとき、そのいくつかの性質は、を計算することによって知ることができる。 例えば、正方行列において、行列式の値が非零となることは、それがであるためのである。 は一次変換のに対する洞察を与える。 行列の応用は科学的な分野の大半に及ぶ。 特ににおいて行列は、、、、などにおける様々な物理現象の研究に利用される。 では三次元のモデルを処理し、それらを二次元の画面へ投影するのに行列が使われる。 や、において行列はの組を表現するのに用いられ、例えば、これはにおけるので使われている。 は、古典的なにおけるやの概念を高次元へ一般化するものである。 では経済上の関係のシステムを説明するのに行列が用いられる。 行列計算の効率的なアルゴリズムの研究はにおける主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている。 は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムはやなどといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、やそのほかの計算を効率的に処理させる。 惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。 無限次行列の簡単な例としては、関数のに対して作用するを表す行列がある。 素朴な定義 [ ] 記法 [ ] 行列は数または数を表わす文字から成る 要素 英: element を矩形状に書き並べて、大きな(あるいは)で括った形に書かれる。 ここで文字送りの方向(横)の並びを 行 英: row といい、行送りの方向(縦)の並びを 列 英: column と呼ぶ。 行列自身は、ふつうはアルファベットの大文字イタリック(しばしば太字 )で表し、その要素は対応する小文字に二つの添字を付けたもので表す(略式的に行列を表す大文字に添字を付けたものを用いることもあるが、その場合の記号と紛らわしい)。 成分 [ ] 詳細は「」を参照 書き並べられた要素は行列の 成分 英: entry, component と呼ばれる。 成分が取り得る値は(さまざまな対象を想定できるが)大抵の場合はあるまたは K の元であり、このとき K 上の行列 英: matrix over K という。 特に、 K が全体の成す体 R であるとき 実行列と呼び、全体の成す体 C のとき 複素行列と呼ぶ。 一つの成分を特定するには、二つの添字が必要である。 行列の第 i 行目、 j 列目の成分を特に行列の i, j 成分と呼ぶ。 例えば上記行列 A の 1, 2 成分は a 12 である。 行列の i, j 成分はふつう a ij のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にを入れることもある。 例えば 1 行 11 列目の成分を a 1,11 と書いてよい。 また略式的には、行列 A の i, j 成分を指定するのに A ij という記法を用いることがある。 この場合、例えば積(後述) AB の i, j 成分を AB ij と指定したりできるので、これで記述の簡素化を図れる場合もある。 行列を構成する行の数と列の数の対を 型 英: type あるいは サイズという。 したがって m 行 n 列行列のことを m, n 型行列などと呼ぶこともある。 1つの列を持つ行列を 列ベクトル、1つの行をもつ行列を 行ベクトルと呼ぶ。 行と列の数が同じである行列は と呼ばれる。 無限の行または列をもつ行列を 無限次行列と呼ぶ。 において行または列を持たない行列を考えると便利となることがしばしばあるが、このような行列を 空行列と呼ぶ。 ベクトルを表すのに使われることがある。 ベクトルを表すのに使われることがある。 や、のようなのを表すのに使われることがある。 例えば添字の対 1, 2 には写像の値として a 12 が割り当てられる。 値 a ij は行列の i-行 j-列成分であるといい、 m および n はそれぞれ行および列の数を意味する。 写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。 行の数と列の数が一致するような行列はと呼ばれる。 ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。 歴史 [ ] の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。 紀元前10世紀から紀元前2世紀の間に書かれた中国の書物『』はの解法に行列を用いた最初の例であるといわれ 、それにはの概念が含まれていた。 1545年にイタリアの数学者は『偉大なる術(アルス・マグナ)』を著し、この方法をヨーロッパに持ち込んだ。 日本のは1683年に連立方程式の解法として同様に行列による方法を用いている。 ドイツのは1659年の著書 Elements of Curves において行列の変形について説明している。 1700年から1710年にかけてドイツのは50以上の異なる体系を用いて行列の使い方を発表した。 がを生み出すのは1750年のことである。 行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、の歴史的論文 Memoir on the theory of matrices(「行列論回想」)においてである。 用語 "matrix"(ラテン語で「生み出すもの」の意味の語に由来) はが導入した。 シルベスターは行列を、(今日と呼ばれる)もとの行列から一部の行や列を取り除いて得られる小行列の行列式として、たくさんの行列式を生じるものとして理解していた。 1851年の論文でシルベスターは I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent. (以前の論文で、項を矩形状に並べた配列として定義した "Matrix" は、そのうちで異なる行列式の体系を生み出す共通の親としての母体である。 ) と説明している。 行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである。 コーシーは1829年に、対称行列のが全て実数であることも示している。 は、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる(後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ)の研究を行った。 前者は、それまでのコーシーの用いた公式のような具体的な手法とは反対に、行列式をに扱ったものである。 これを以って、行列式の概念がきっちりと確立されたと見なされている。 多くの定理は、初めて確立されたときには小さいサイズの行列に限った主張として示された。 また、19世紀の終わりに、(として今日知られるものを特別の場合として含む)を ()が確立し、20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった。 前世紀のの分類にも行列の利用が部分的に貢献した。 、、らによるの創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった。 後には、(大体無限次元のにあたる)上のなどの的な概念をさらに推し進めることにより、を提示した。 行列の演算 [ ] 基本演算 [ ] 加法 [ ] 二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の 加法、演算の結果を 和と言う。 異なる型の行列に対しては和は定義されない。 一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ(同じ型の)行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。 乗法 [ ] 詳細は「」を参照 行列の積を初めて定義したのはである。 正方行列に関して行列の乗法は特別な役割を持つ。 行列がに分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。 ここで E 2 は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0 R(基礎環 R の)であるような適当なサイズの行列である。 これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 a 11, a 22, … に関して折り返したものになっている。 この内積空間において、全体の成す部分空間と全体の成す部分空間とは互いに直交する。 これと同様の方法で得られる三重線型な(三項積)の一般論は、あるいはの理論とかかわりを持つ。 定義されない演算 [ ] 以下のような計算は定義されないため実行してはならない。 行列とその乗法は、これを 一次変換(つまり 線型写像)と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。 陽に書けば、 A の i, j -成分は、 f e j の第 i-成分である。 このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、 A を f の 変換行列または 表現行列と呼ぶ。 この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの(列)ベクトル 0 0 , 1 0 , 1 1 , 0 1 の各々に A を掛けることによって得られる。 最後の等号は行列の積の結合性による。 行列の抽象代数的側面と一般化 [ ] 行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。 抽象代数学では行列の成分をもっと一般の(とは限らない)やとしたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。 また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。 他の拡張としては、(行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して)数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである。 適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれるを成す。 より一般の成分を持つ行列 [ ] しばしば実または成分の行列に焦点を当てることもある が、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる。 一般化の最初の段階として任意の(すなわちが自由にできる、例えば R, C 以外に体 Q や F qなど)を成分として考える。 例えばでは有限体上の行列を利用する。 どの体で考えるとしても、は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。 たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。 ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる(例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる)から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。 あるいは最初から、複素数体 C のようなに成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。 もっと一般に、抽象代数学ではに成分を持つ行列というものが甚だ有用である。 環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。 この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。 R 上の n-次正方行列全体の成す集合 M n, R はと呼ばれる環であり、左 R- R n のに同型である。 可換環 R 上の正方行列のはライプニッツの公式を用いて定義することができて、可換環 R 上の正方行列が可逆であることの必要十分条件をその行列式が R のであることと述べることができる(これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている)。 ()上の行列は ()と呼ばれる。 行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない(し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない)。 一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできるが挙げられる。 その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常のの元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。 従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。 注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。 基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列とになる。 既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。 行列群 [ ] 詳細は「」を参照 というのは集合と(つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作)からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。 行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる。 群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 GL n であり、と呼ばれる。 行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。 例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれるとなり、 SL n と呼ばれる。 任意のは何らかの行列群である。 なんとなればのを考えればよい。 故に、の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。 無限次行列 [ ] 行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができる が、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して(添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい)、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。 このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは(適当な制約条件を抜きにしては)一般には定義されない。 これと対応するものとして、左 R-加群としての M の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な 行有限行列の環 RFM I R が得られる。 無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。 また、 A の各列は V の各基底ベクトルの f による像を W の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。 しかし一方で、 A の行に関しては何の制約もない。 事実、 v の非零成分が有限個であるならば、積 Av はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。 さらに言えば、これは A の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。 (通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような)与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。 R がならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。 すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関するを考えればよい。 例えば、列和が絶対収束列となるような行列の全体は環を成す。 もちろん同様に、行和が絶対収束列となるような行列の全体も環を成す。 この文脈では、収束してな問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列はを記述するものとして利用することができる。 しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがち であり、むしろその代わりにの抽象的でより強力な手法が利用できる。 空行列 [ ] 空行列は行または列(あるいはその両方)の数が 0 であるような行列をいう。 を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。 空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くのでは空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。 これは行列式に関するライプニッツの公式(置換に関する和として表す公式)がとなり、それは通常 1 であることによる。 またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換(に対応する行列)の行列式が 1 であるという事実とも整合する。 応用 [ ] 行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。 そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。 例えば、やにおける利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。 これと同じような解釈は一般にやにおいても可能である。 ヒル暗号のような初期のにおいても行列は用いられる。 しかし、行列の線型性によって、このような暗号はかなり簡単に突破されてしまう。 では、物体を表現したり、物体の変換をするのに行列が用いられ、を使えば3次元のモデルを2次元の画面に映すような作業が可能となる。 における行列はを学ぶ際に重要となる。 有限グラフのはにおける基本的な概念である。 これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。 また、は頂点間の距離に関する情報を含む。 このような概念はによって繋がれたや道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。 このようなことからにおいても行列は用いられることとなる。 これは関数の局所的な状態に関する情報を符号化したものである。 脚注 [ ] [] 注釈 [ ]• 下線や二重下線などを付けることもあるが、これはタイプライター原稿で用いられた太字書体を指示する書式の名残• によれば、数学用語としての "matrix" の最初の用例は J. Sylvester in London, Edinb. Mag. 37 1850 , p. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants by fixing upon a number p, and selecting at will p lines and p columns, the squares corresponding to which may be termed determinants of the pth order. これは与えられた行列の全ての成分が加法逆元を持つ限りにおいて、加法のみから定められることに注意。 特にスカラー乗法が(任意のスカラーと任意の行列に対する演算として)定義されている必要はない。 従って、同じサイズの任意の行列に対する減法を定めるならば、例えば係数域が加法についてであれば十分であるが、通例として行列の係数域は何らかの可換環と仮定するから、それには環の加法群構造を用いればよい• 正方行列でない行列に対して行列式を考える理論も存在する。 これは C. Cullis により導入された。 普通はさらに一般線型群のとなることも要求する。 "Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps. "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero", "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix", 出典 [ ]• cited by , p. ; 1959. III. 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